题目描述

求\(A^B\)的所有约数之和\(mod\mbox{ 9901 } (1≤A,B≤5*10^7)\)

• 输入

2 3

• 输出

15

题解

（1）  整数的唯一分解定理：

      任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

     \(A=(p1^{k1})*(p2^{k2})*(p3^{k3})*....*(pn^{kn})\)其中\(pi\)均为素数

（2）   约数和公式：

      对于已经分解的整数\(A=(p1^{k1})*(p2^{k2})*(p3^{k3})*....*(pn^{kn})\)

      有A的所有因子之和为

\[ S = (1+p1+p1^2+...p1^{k1}) * (1+p2+p2^2+….p2^{k2}) * .... *\] \[(1+pn+pn^2+pn^3+...pn^{kn})\]

（3）   费马小定理求逆元：

      \[a^{-1} \equiv a^{P-2} \mbox{ ( mod P ) }\]

（4）   求等比数列：

      \[(1+p1+p1^2+...p1^{B*k1})=\frac{p1^{B*k1+1}-1}{p1-1}\]

      特别的，若 \(p1-1\) 是9901的倍数有 \(p1 \equiv 1 \mbox{ ( mod P ) }\)

      所以有，\[(1+p1+p1^2+...p1^{B*k1})\equiv B*k1+1\mbox{ ( mod P ) }\]

code

#include 
    
     #include 
     
      #define re register int#define int long longusing namespace std;inline void read(int &x){    x=0;char ch=getchar();    for(;!isdigit(ch);ch=getchar());    for(; isdigit(ch);ch=getchar())          x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);}const int N=300,P=9901;int p[N],c[N],a,b,ans=1,t,inv[100000];inline void get(){    inv[1]=1;    for(re i=2;i<100000;++i)        inv[i]=((P-P/i)*inv[P%i])%P;}inline int ksm(int x,int y){    int res=1;    for(;y;y>>=1,x=x*x%P)         if(y&1) (res*=x)%=P;    return res%P;}signed main(){    get();    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){        t=0,ans=1;        for(re i=2;i*i<=a;++i)            if(a%i==0) {                p[++t]=i,c[t]=0;                while(a%i==0)                     a/=i,++c[t];            }        if(a>1) p[++t]=a,c[t]=1;        for(re i=1;i<=t;++i){            if((p[i]-1)%P==0)                (ans*=(b*c[i]+1)%P)%=P;                //没有逆元时特判            else                    (ans*=((ksm(p[i],c[i]*b+1)-1+P)*ksm(p[i]-1,P-2)%P))%=P;                //ksm(p[i],c[i]*b+1)-1+P ，记得取模减法后%P+P再%P，                //调这个用了1h+        }        printf("%lld\n",ans%P);    }return 0;}